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CHAPITRE II.

stration si je ne me proposais de le compléter en quelques points.

Considérons les équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta (x,y,z,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\varphi (x,y,z,\mu ),&{\frac {dz}{dt}}&=\psi (x,y,z,\mu ).\end{aligned}}$

Je suppose que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont développées suivant les puissances croissantes de la variable indépendante $x,$ des deux fonctions inconnues $y$ et $z$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

En supposant que la variable indépendante $t$ n’entre pas dans les seconds membres des équations (1), je ne diminue pas la généralité, car un système d’ordre $n,$ où la variable indépendante entre explicitement, peut toujours être remplacé par un système d’ordre $n+1$ où cette variable indépendante n’entre pas.

Soient, en effet, par exemple,

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t)\,:\end{aligned}}$

il est manifeste que ces deux équations peuvent être remplacées par les trois suivantes

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dz}{dt}}&=1.\end{aligned}}$

Je me propose de démontrer qu’il existe trois séries convergentes développées suivant les puissances de $t,$ de $\mu ,$ de $x_{0},y_{0},z_{0},$ qui satisfont aux équations (1), quand on les y substitue à la place de $x,$ de $y$ et de $z,$ et qui se réduisent respectivement à $x_{0},$ à $y_{0}$ et à $z_{0}$ pour $t=0.$

Ainsi, au lieu de développer seulement, comme le faisait Cauchy, par rapport à la variable indépendante $x,$ je développe en outre par rapport au paramètre $\mu$ et par rapport aux valeurs initiales $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}.$ Mais je dois auparavant démontrer deux nouveaux lemmes.