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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

24.Soient

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t,\mu ),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t,\mu )\end{aligned}}\right.$

deux équations différentielles, où $\varphi$ et $\psi$ sont des séries ordonnées, suivant les puissances des fonctions inconnues $x$ et $y,$ de la variable $t$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

Il est aisé de vérifier qu’il existe deux séries

(2)

$f(t,\mu ),\quad f_{1}(t,\mu ),$

ordonnées selon les puissances de $t$ et de $\mu ,$ s’annulant avec $t,$ et qui, substituées dans les équations (1) à la place de $x$ et de $y,$ d’après les règles ordinaires du calcul, satisfont formellement à ces équations.

En cherchant à déterminer les coefficients de ces séries $f$ et $f_{1}$ par la méthode des coefficients indéterminés, on trouve qu’un coefficient quelconque de $f$ (ou de $f_{1}$) est un polynôme entier à coefficients positifs par rapport aux divers coefficients de $\varphi$ et de $\psi .$

Considérons donc d’autres équations de même forme que (1)

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi '(x,y,t,\mu ),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi '(x,y,t,\mu ),\end{aligned}}\right.$

et qui soient telles que

$\varphi <\varphi ',\qquad \psi <\psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y,t,\mu )\,;$

si les séries

(2 bis)

$f'(t,\mu ),\quad f'_{1}(t,\mu )$

sont ordonnées suivant les puissances de $t$ et de $\mu ,$ s’annulent avec $t$ et satisfont formellement aux équations (1 bis) quand on les substitue à la place de $x$ et de $y,$ il est permis de conclure que

$f\ll f',\quad f_{1}\ll f'_{1}\quad (\mathrm {arg.} \;t,\mu ).$

25.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; supposons que $\varphi$ et $\psi$ soient développables suivant les puissances de $x,$