54
CHAPITRE II.
et
pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et
)
[nous conviendrons de ne considérer que les valeurs de
comprises
entre ces deux limites]. Je ne suppose pas d’ailleurs que
et
soient développables suivant les puissances de
Il existera alors des séries
![{\displaystyle f(t,\mu ),\quad f_{1}(t,\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a1b6d359b0c6a140749a2e0ab2d8a0fb8c0fa1)
qui seront ordonnées suivant les puissances de
(le coefficient
d’une puissance quelconque de
étant une fonction de
qui peut
ne pas être développable suivant les puissances de
) qui s’annuleront
et qui satisferont formellement aux équations (1).
Comment peut-on déterminer les coefficients des deux séries
et
?
Soient
le coefficient de
dans
et
celui de
dans
On trouve alors, pour déterminer
et
les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{0}}{dt}}&=\varphi (x_{0},y_{0},t_{0},0),&{\frac {dy_{0}}{dt}}&=\psi (x_{0},y_{0},t,0),\\[0.5ex]{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {X} _{1},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {Y} _{1},\\[0.5ex].\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\{\frac {dx_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {X} _{m}\,;&{\frac {dy_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {Y} _{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42cd9334a8bddbfd8fe62ee1266a3e3227a9bf1e)
et
étant développées suivant les puissances de
![{\displaystyle x_{1},\;y_{1};\;x_{2},\;y_{2};\;\dots ;\;x_{m-1},\;y_{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096ed40284d1434a2440d40739518bfe01462304)
et dépendant, d’autre part, de
et de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
D’ailleurs, dans
et
doivent être remplacés
par
et 0.
Soient maintenant des équations
(1 bis)
|
|
|
telles que
![{\displaystyle \varphi \ll \varphi ',\qquad \psi \ll \psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,\,y\;\mathrm {et} \;\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0c9d452e46f1dc251afa500c6a2d3a60d02bae)
mais non
![{\displaystyle \mathrm {arg.} \;t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65633ccec8d858844f26f031fd945c20d77a3e5c)