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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

Soient

${\begin{aligned}f'(t,\mu )&=x'_{0}+\mu x'_{1}+\mu ^{2}x'_{2}+\dots ,\\f'_{1}(t,\mu )&=y'_{0}+\mu y'_{1}+\mu ^{2}y'_{2}+\dots \end{aligned}}$

les séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et s’annulant avec $t,$ qui satisfont formellement aux équations (1 bis).

Il viendra

${\begin{aligned}{\frac {dx'_{0}}{dt}}&=\varphi '(x'_{0},y'_{0},t,0),&{\frac {dy'_{0}}{dt}}&=\psi '(x'_{0},y'_{0},t,0),\\.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,\\{\frac {dx'_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {X} '_{m}\,;&{\frac {dy'_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {Y} '_{m}.\end{aligned}}$

À l’origine des temps, on aura

$x'_{0}=x_{0}=0,\qquad y'_{0}=y_{0}=0$

et d’ailleurs

(2)

$|\varphi |<\varphi ',\qquad |\psi |<\psi '\,;$

d’où

(3)

$\left|{\frac {dx_{0}}{dt}}\right|<{\frac {dx'_{0}}{dt}},\qquad \left|{\frac {dy_{0}}{dt}}\right|<{\frac {dy'_{0}}{dt}}.$

$x'_{0}$ et $y'_{0},$ pour les petites valeurs positives de $t,$ sont donc positifs et plus grands en valeur absolue que $x_{0}$ et $y_{0}.$

J’écris donc

(4)

$\left|x_{0}\right|<x'_{0},\qquad \left|y_{0}\right|<y'_{0}.$

Les inégalités (4) ne pourraient cesser d’être satisfaites sans que les inégalités (3) cessassent les premières de l’être. Mais il ne pourra en être ainsi ; car les inégalités (4), jointes aux inégalités (2), entraînent les inégalités (3) comme conséquences. Donc les inégalités (4) subsisteront toutes les fois que

$0<t<t_{1}.$

Je suppose qu’on ait démontré de même que

(5)

$\left\{{\begin{aligned}|x_{1}|&<x'_{1},&|x_{2}|&<x'_{2},&&\dots ,&|x_{m-1}|&<x'_{m-1}\,;\\|y_{1}|&<y'_{1},&|y_{2}|&<y'_{2},&&\dots ,&|y_{m-1}|&<y'_{m-1},\end{aligned}}\right.$