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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(t,\mu )&=x'_{0}+\mu x'_{1}+\mu ^{2}x'_{2}+\dots ,\\f'_{1}(t,\mu )&=y'_{0}+\mu y'_{1}+\mu ^{2}y'_{2}+\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b76d02d2dfe7ad12fb92084e4339e0d779177)
les séries ordonnées suivant les puissances de
et s’annulant avec
qui satisfont formellement aux équations (1 bis).
Il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx'_{0}}{dt}}&=\varphi '(x'_{0},y'_{0},t,0),&{\frac {dy'_{0}}{dt}}&=\psi '(x'_{0},y'_{0},t,0),\\.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,\\{\frac {dx'_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {X} '_{m}\,;&{\frac {dy'_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {Y} '_{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fe65715f48f886455f7c3bb11f8b059a8cb8ba)
À l’origine des temps, on aura
![{\displaystyle x'_{0}=x_{0}=0,\qquad y'_{0}=y_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf091fda59005f33b988ae08f3d9ed4ca1c00606)
et d’ailleurs
(2)
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d’où
(3)
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et
pour les petites valeurs positives de
sont donc positifs
et plus grands en valeur absolue que
et ![{\displaystyle y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c185f3ce017bf12bd5b1b6db88f98b1559623886)
J’écris donc
(4)
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Les inégalités (4) ne pourraient cesser d’être satisfaites sans que
les inégalités (3) cessassent les premières de l’être. Mais il ne pourra
en être ainsi ; car les inégalités (4), jointes aux inégalités (2), entraînent
les inégalités (3) comme conséquences. Donc les inégalités
(4) subsisteront toutes les fois que
![{\displaystyle 0<t<t_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f755db3e82da141c5e87a45c73747c80ff620c)
Je suppose qu’on ait démontré de même que
(5)
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