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CHAPITRE II.

et je me propose de démontrer que

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}$

En effet, on conclut des inégalités (5) que

${\begin{aligned}\left|{\frac {d\varphi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}},&\left|{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dx'_{0}}},\\[0.75ex]&&\left|\mathrm {X} _{m}\right|&<\mathrm {X} '_{m},&\left|\mathrm {Y} _{m}\right|&<\mathrm {Y} '_{m}.&\end{aligned}}$

Nous devons donc conclure que les inégalités

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}$

entraînent les suivantes :

$\left|{\frac {dx_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dx'_{m}}{dt}},\qquad \left|{\frac {dy_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dy'_{m}}{dt}}.$

Un raisonnement tout semblable à celui qui précède montrerait ensuite que l’on a

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}\qquad \mathrm {pour} \;0<t<t_{1}.$

Ces inégalités peuvent d’ailleurs s’écrire

$f<f',\qquad f_{1}<f'_{1}\qquad (\mathrm {arg.} \;\mu ,$ mais non $\mathrm {arg.} t).$

26.Reprenons les équations (1) du n^o 23.

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta (x,y,z,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\varphi (x,y,z,\mu ),&{\frac {dz}{dt}}&=\psi (x,y,z,\mu ).\end{aligned}}$

Ces équations sont satisfaites formellement par certaines séries

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x&=f_{1}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\\y&=f_{2}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\\z&=f_{3}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\end{aligned}}\right.$

développées suivant les puissances croissantes de $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ $\mu ,$ et se réduisant respectivement à $x_{0},$ $y_{0}$ et $z_{0}$ pour $t=0.$

Pour démontrer la convergence de ces séries, comparons-les aux séries obtenues en partant d’équations différentes.