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CHAPITRE II.

Quand $t$ variera de 0 à $t_{0},$ les rayons de convergence de ces développements varieront également ; mais on pourra leur assigner une limite inférieure. On pourra donc, d’après le n^o 20, trouver deux nombres positifs $\mathrm {M}$ et $\alpha ,$ tels que, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ on ait

$\varphi <\varphi ',\quad \psi <\psi '\quad (\mathrm {arg.} \;x,y,\mu )$

en posant

$\varphi '=\psi '={\frac {\mathrm {M} (x+y+\mu )[1+\alpha (x+y+\mu )]}{1-\alpha (x+y+\mu )}}\cdot$

Formons alors les équations

(2 bis)

${\frac {dx}{dt}}=\varphi ',\quad {\frac {dy}{dt}}=\psi '.$

Nous pouvons satisfaire à ces équations par des séries (3 bis) de même forme que les séries (3), et qui satisfont formellement à ces équations.

D’après le n^o 25, les séries (3) convergeront pourvu que les séries (3 bis) convergent.

Or, si nous posons

$x+y+\mu =\mathrm {S} ,$

nos équations donnent

$x=y={\frac {\mathrm {S} -\mu }{2}}$

et

${\frac {d\mathrm {S} }{dt}}={\frac {2\mathrm {MS} (\mathrm {S} +1)}{1-\mathrm {S} }}$

ou

$2\mathrm {M} \,dt={\frac {d\mathrm {S} }{\mathrm {S} }}-{\frac {2\,d\mathrm {S} }{\mathrm {S} +1}}\,;$

d’où, puisque $\mathrm {S} =\mu$ pour $t=0,$

$2\mathrm {M} t=\mathrm {L} {\frac {\mathrm {S} }{(\mathrm {S} +1)^{2}}}-\mathrm {L} {\frac {\mu }{(\mu +1)^{2}}}\cdot$

On vérifiera sans peine que $\mathrm {S}$ et, par conséquent, $x$ et $y$ peuvent se développer suivant les puissances de $\mu$ et que le développement converge pour toutes les valeurs de $t$ pourvu que $|\mu |$ soit suffisam-