61
INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
ment petit ; on peut en conclure que les séries (3 bis) et les séries
(3) convergent.
C.Q.F.D.
Applications au Problème des trois Corps.
28.Les résultats du numéro précédent subsistent évidemment
quand, au lieu d’un seul paramètre arbitraire 
on en a plusieurs.
Voici l’usage que nous allons faire de ce résultat : nous n’avons,
dans le no 27, envisagé que la solution particulière pour laquelle
les valeurs initiales de 
et de 
sont nulles.
Supposons que nous considérions la solution particulière pour
laquelle ces valeurs initiales sont 
et 
et que nous nous proposions
de développer cette solution suivant les puissances de 
et 
Mais nous pouvons encore aller plus loin : reprenons les
équations (1) du numéro précédent, et envisageons la solution
particulière telle que
pour 
cherchons ensuite à développer les valeurs de et de
pour 
suivant les puissances de 
et 
Posons ensuite
les équations (1) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\varphi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right),\\[0.5ex]{\frac {dy'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\psi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447c2dcdf27ec71a1e635cce3082f71b192ded0b)
Nous pourrons y regarder 
et 
comme les variables et
comme quatre paramètres arbitraires.
La solution particulière que nous envisageons est telle que,
pour 
on a
et, par conséquent,
