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CHAPITRE II.
Nous avons, d’ailleurs, à calculer les valeurs de
et de
pour
c’est-à-dire pour ![{\displaystyle t'=t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effbc4fd501200bd5a15f29026f580c7f25a6ace)
Nous retombons donc sur le cas étudié au numéro précédent, et
nous voyons que
et
sont développables suivant les puissances
de
et
pourvu que les modules de ces quantités soient
assez petits. Il y a à cela une seule condition, c’est que la solution
particulière, pour laquelle les valeurs initiales de
et de
sont
nulles, et dans laquelle on suppose de plus
ne passe par
aucun point singulier.
Appliquons cela aux équations du no 13
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438bc34566b50ec57a2f8f1474e289b6dc5c84b4)
où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfc4409c2f869c523dc8c65049b5f7668c738f6)
et où
ne dépend pas des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
sera une fonction des
et des
qui ne cessera d’être holomorphe
qu’en certains points singuliers. Il pourra se faire que, si
l’on donne aux
les valeurs suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9142391db1493ff83bc96d28357456a6d0e5ab10)
la fonction
reste holomorphe pour toutes les valeurs des ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Imaginons alors que l’on se propose le problème suivant :
Envisageant la solution particulière, telle que, pour
on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0}+\xi _{1},&x_{2}&=x_{2}^{0}+\xi _{2},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0}+\xi _{p},\\y_{1}&=y_{1}^{0}+\eta _{1},&y_{2}&=y_{2}^{0}+\eta _{2},&&\dots ,&y_{p}&=y_{p}^{0}+\eta _{p},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43e47b9d2c9b1142534944813db1a9e5c970777)
et considérant en particulier les valeurs des variables pour
![{\displaystyle t=t_{0}+\tau ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7698d3d2c83410466b4f46885d45e7a91193c921)
développer ces valeurs suivant les puissances de
de
des
et
des ![{\displaystyle \eta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc94fc42a3ecbad87643808e17ec9634147cf812)
Ce développement sera possible ; en effet, si l’on fait à la fois
![{\displaystyle \mu =\tau =\xi _{i}=\eta _{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ffa9ba04be6d8b5ff0a5172b382621632909d9)
la solution particulière envisagée se réduit à
![{\displaystyle x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=n_{i}t+y_{i}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7634faa9e591c52bd15b834b82006a4be93730)