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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Si l’équation (5) a toutes ses racines distinctes, nous aurons
solutions de cette forme linéairement indépendantes, et la solution générale s’écrira
(7)
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|
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Les
sont des constantes d’intégration, les
sont des constantes
et les
sont des séries trigonométriques absolument et uniformément convergentes.
Voyons maintenant ce qui arrive quand l’équation (5) a une racine
double, par exemple quand
Reprenons la formule (7), faisons-y
![{\displaystyle \mathrm {C} _{3}=\mathrm {C} _{4}=\dots =\mathrm {C} _{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcd7332779747a2cd082d24fbe5a0c5d27ed7d6)
et faisons-y tendre
![{\displaystyle \alpha _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef5f08a56f51deb324e5eed2fb9b2e3c279889d)
vers
![{\displaystyle \alpha _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c070a9483001b49a22f95b117c8ae45ddf1c95)
Il vient
![{\displaystyle x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} _{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272a22e89663cce9cf4dd52af3fb060a5d8a4f04)
ou, en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&=\mathrm {C} '_{1}-\mathrm {C} _{2},\\\mathrm {C} _{2}&={\frac {\mathrm {C} '_{2}}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e246f98a15c548ef5f9b34a2e08187a7bef7ec00)
il viendra
![{\displaystyle x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} '_{2}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed1314592cc90f6a8de69dd19d835e3f93cdf24)
Il est clair que la différence
![{\displaystyle \lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220d3f5aef5a5bf4751b546bb858db126d3c0ea3)
s’annulera pour
Nous pourrons donc poser
![{\displaystyle \lambda _{2,1}(t)=\lambda _{1,1}(t)+(\alpha _{2}-\alpha _{1})\lambda '(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861d0b34ea664b294ff7136e4ed9b3cdfb00f561)
Il vient ainsi
![{\displaystyle x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}\lambda _{1,1}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}-1}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}+\mathrm {C} '_{2}\lambda '(t)e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6fea7ffd800a6518ed563e7332842749f7cbf2)
et à la limite (pour
),
![{\displaystyle x_{1}=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}e^{\alpha _{1}t}\left[t\lambda _{1,1}+\lim \lambda '(t)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0461342613e7a92ec8b54c8eff55ccfac0b50a88)