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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

Le développement

$y=\alpha _{1}\lambda x^{\frac {1}{p}}+\alpha _{2}\lambda ^{2}x^{\frac {2}{p}}+\dots +\alpha _{n}\lambda ^{n}x^{\frac {n}{p}}+\dots$

satisfera également à l’équation (1). On pourra donc déduire du développement (2) $p-1$ autres développements qui formeront avec lui un groupe ; je dirai que ce groupe est d’ordre $p.$

La somme des ordres de tous les groupes est manifestement égale à $m.$

Supposons qu’il y ait $q_{p}$ groupes d’ordre $p,$ la somme de leurs ordres sera $q_{p}p,$ et l’on aura

$q_{1}+2q_{2}+\dots +pq_{p}+\dots =m.$

Les coefficients des $pq_{p}$ développements appartenant à des groupes d’ordre $p$ seront donnés par des équations algébriques d’ordre $pq_{p}.$

Si $pq_{p}$ est impair, ces équations auront au moins une racine réelle et un des développements au moins aura ses coefficients réels ; comme de plus $p$ est impair, si $pq_{p}$ est impair, la valeur correspondante de $y$ sera encore réelle.

Mais, si $m$ est impair, l’une au moins des quantités $pq_{p}$ est impaire ; l’une au moins des valeurs de $y$ doit donc être réelle.

Si donc $m$ est impair, l’équation (1) admettra encore au moins une solution réelle pour les petites valeurs de $x.$

J’ajouterai que les nombres de solutions réelles pour les petites valeurs négatives de $x$ sont tous deux de même parité que $m\,;$ j’entends parler des solutions réelles qui s’annulent avec $x.$

Élimination.

33.Considérons maintenant une équation

(1)

$f(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$

et imaginons que, quand $y$ et les $x$ s’annulent, $f$ s’annule ainsi que ses $m-1$ premières dérivées par rapport à $y,$ sans que la dérivée $m$^ième s’annule.

Au début de ma Thèse inaugurale sur les fonctions définies par les équations aux dérivées partielles (Paris, Gauthier-Villars, 1879),