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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

équations resteront distinctes ; on pourra alors, d’après ce que nous venons de voir, remplacer ces deux équations par deux autres équivalentes

${\begin{aligned}\varphi _{1}(x,y,z)&=0,\\\psi _{1}(x,y,z)&=0,\end{aligned}}$

dont les premiers membres seront des polynômes entiers en $y$ et $z\,;$ on peut alors, entre ces deux équations devenues algébriques, par rapport aux deux inconnues $y$ et $z,$ éliminer $z,$ par exemple, et arriver à une équation unique

$\mathrm {F} (x,y)=0,$

ou bien, quand on annulera $x,$ les deux équations (3) cesseront d’être distinctes.

Mais alors deux cas pourront se présenter.

Ou bien on pourra trouver un nombre $\alpha ,$ tel que les équations (3) restent distinctes quand on fera $x=\alpha y.$

Alors, si nous posons $x'=x-\alpha y,$ les équations restent distinctes pour $x'=0$ et l’on retombe sur le cas précédent ; on peut éliminer $z$ entre les deux équations (3) et les réduire à une équation unique entre $x'$ et $y$ ou, ce qui revient au même, entre $x$ et $y.$

Ou bien on ne pourra pas trouver un pareil nombre $\alpha \,;$ mais cela ne peut arriver que si les équations (3) ne sont pas distinctes ; sauf ce cas exceptionnel, l’élimination sera donc toujours possible.

Plus généralement, soient

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi _{1}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0,\\\varphi _{2}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\\varphi _{p}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0\end{aligned}}\right.$

$p$ équations dont les premiers membres soient holomorphes et qui définissent les $z$ en fonctions de $x\,;$ si ces équations sont distinctes, on pourra toujours éliminer $z_{2},z_{3},\dots ,z_{p}$ entre ces $p$ équations et les ramener à une équation unique de même forme

(5)

$\mathrm {F} (x,z_{1})=0.$

Je suppose que les équations (4) soient encore distinctes pour $x=\alpha$ et, par conséquent, que $\mathrm {F}$ ne soit pas divisible par $x.$