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CHAPITRE II.

Je suppose que $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\dots ,\,\varphi _{p}$ s’annulent avec les $z$ et avec $x,$ de sorte que

(6)

$z_{1}=z_{2}=\dots =z_{p}=0$

est une solution du système (4) pour $x=0,$ et que $z_{1}=0$ est une solution de l’équation (5).

Si $z_{1}=0$ est une solution d’ordre $m$ de l’équation (5), je dirai également que la solution (6) est une solution d’ordre $m$ du système (4).

Si la solution est d’ordre impair, nous pourrons affirmer que l’équation (5) et, par conséquent, le système (4) admettent encore des solutions réelles pour les petites valeurs de $x.$

Théorème sur les maxima.

34.Soit $\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{p})$ une fonction quelconque holomorphe par rapport aux $z\,;$ on sait qu’on trouvera tous les maxima de cette fonction en résolvant le système

(1)

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=\dots ={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{p}}}=0\,;$

mais on sait également que toutes les solutions de ce système ne correspondent pas à des maxima.

Je dis qu’une condition nécessaire, mais non suffisante bien entendu, pour qu’une solution puisse correspondre à un maximum de $\mathrm {F} ,$ c’est que cette solution soit d’ordre impair.

La chose est évidente si l’on n’a qu’une seule variable $z,$ et une seule équation

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}=0.$

On sait, en effet, qu’il ne peut y avoir de maximum si la première dérivée de $\mathrm {F}$ qui ne s’annule pas n’est pas d’ordre pair.

Étendons le même résultat au cas général et, pour fixer les idées, considérons le cas de deux variables seulement $z_{1}$ et $z_{2}.$ Regardons $z_{1}$ et $z_{2}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan ; nous pouvons toujours supposer que l’on ait pris pour origine le point