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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

et les équations admettent des solutions particulières telles, que $\xi$ et $\eta$ soient des fonctions périodiques de $t,$ la période étant égale à $\mathrm {T} .$

Si l’on avait rapporté le point à des axes fixes $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} y,$ on aurait eu

${\begin{aligned}x&=\xi \cos nt-\eta \sin nt,\\y&=\xi \sin nt+\eta \cos nt,\end{aligned}}$

et $x$ et $y$ n’auraient pas été des fonctions périodiques de $t,$ à moins que $\mathrm {T}$ ne soit commensurable avec ${\frac {2\pi }{n}}\cdot$

On fait donc apparaître une solution périodique en passant des axes fixes aux axes mobiles.

Le problème que nous allons traiter ici est le suivant :

Supposons que, dans les équations (1), les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent d’un certain paramètre $\mu \,;$ supposons que dans le cas de $\mu =0$ on ait pu intégrer les équations, et qu’on ait reconnu ainsi l’existence d’un certain nombre de solutions périodiques. Dans quelles conditions aura-t-on le droit d’en conclure que les équations comportent encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu$ ?

Prenons pour exemple le Problème des trois corps : nous sommes convenus plus haut (n^o 11) d’appeler $\alpha _{2}\mu$ et $\alpha _{3}\mu$ les masses des deux plus petits corps, $\mu$ étant très petit, $\alpha _{2}$ et $\alpha _{3}$ finis. Pour $\mu =0,$ le problème est intégrable, chacun des deux petits corps décrivant autour du troisième une ellipse képlérienne ; il est aisé de voir alors qu’il existe une infinité de solutions périodiques. Nous verrons plus loin qu’il est permis d’en conclure que le Problème des trois corps comporte encore une infinité de solutions périodiques, pourvu que $\mu$ soit suffisamment petit.

Il semble d’abord que ce fait ne puisse être d’aucun intérêt pour la pratique. En effet, il y a une probabilité nulle pour que les conditions initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une solution périodique. Mais il peut arriver qu’elles en diffèrent très peu, et cela a lieu justement dans les cas où les méthodes anciennes ne sont plus applicables. On peut alors avec avantage prendre la solution périodique comme première approximation, comme orbite intermédiaire, pour employer le langage de M. Gyldén.