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APPLICATION AUX ORBITES.
c’est-à-dire
![{\displaystyle \Lambda +\Lambda '-{\frac {\xi ^{2}+\xi '^{2}+\eta ^{2}+\eta '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64abc80993def57e0f7b2e5c83459e47db75ed54)
Or, cette condition n’est autre chose que l’équation des aires, elle
est donc remplie.
La fonction
définie par les équations (8), existe donc. Ses
dérivées
et
sont périodiques
en
et
Les valeurs moyennes
de ces deux fonctions périodiques dépendent seulement des deux
constantes
et
Comme nous n’avons jusqu’ici rien supposé
au sujet du choix de ces deux constantes, nous pouvons les choisir
de telle façon que ces valeurs moyennes soient précisément
et
On aura alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd21cc829d1d392984abe1e53a16cfc8ca1ff7c)
fonction périodique en
![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
et
![{\displaystyle \lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de51b7be853374736023a9a94821b7ce41ae069)
La fonction
est développable suivant les puissances croissantes
de
, et pour
se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\Lambda _{1}\lambda +\Lambda '_{1}\lambda '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9f751e763fcc8b43be9000944e1ed41c6047e6)
Pour effectuer la transformation, cherchons à exprimer les
variables anciennes en fonctions des nouvelles à l’aide des équations (7). Nous avons d’abord
(9)
|
|
|
puis, les deux premières équations (7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}},&\lambda _{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46e6d75ae42a4190d158dd2f493b2080ce811bc)
Dans ces deux équations, je remplace
et
par leurs valeurs (9),
et alors elles peuvent s’écrire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda +\mu \psi ,&\lambda _{1}'&=\lambda '+\mu \psi '.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc58153861939072fb74f0d3dc9cf3b1ee23bb3)
et
étant des fonctions de
de la
forme suivante :
1o Elles sont développables suivant les puissances de