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CHAPITRE XII.

2^o Elles sont périodiques en $\lambda$ et $\lambda '.$

3^o Elles sont linéaires en $\xi _{1},\,\xi _{1}',\,\eta _{1},\,\eta _{1}'.$

De ces équations on peut alors déduire, par application des principes du Chapitre II, dont nous avons fait un si fréquent usage,

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\mu \psi _{1},&\lambda '&=\lambda _{1}'+\mu \psi _{1}',\end{aligned}}$

$\psi _{1}$ et $\psi _{1}'$ étant des fonctions de $\lambda _{1},$ $\Lambda _{1},$ $\xi _{1},$ $\eta _{1}$ et des mêmes lettres accentuées, qui sont

1^o Développables suivant les puissances de $\mu ,$ $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\xi '_{1},\,\eta '_{1}.$

2^o Périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Substituons dans les équations (9) ces valeurs de $\lambda$ et de $\lambda '\,;$ nous aurons les $\xi$ et les $\eta$ en fonctions des variables nouvelles. J’observe que les $\xi$ et les $\eta ,$ exprimés de la sorte sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ et périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ de plus, pour $\mu =0,$ $\xi$ et $\eta$ se réduisent à $\xi _{1}$ et $\eta _{1}.$

Si, dans les deux équations,

${\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}},\end{aligned}}$

on substitue maintenant, à la place des $\lambda ,$ des $\xi$ et des $\eta ,$ leurs expressions en fonctions des variables nouvelles, on aura $\Lambda$ et $\Lambda '$ exprimés en fonctions des $\Lambda _{1},$ des $\lambda _{1},$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ périodiques en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ développables suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1},$ et se réduisant pour $\mu =0$ à $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Que devient maintenant $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables nouvelles ? Il est clair que $\mathrm {F}$ sera encore développable suivant les puissances de $\mu ,$ des $\xi _{1}$ et des $\eta _{1}$ et périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$

Soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots$

le développement de $\mathrm {F}$ suivant les puissances de $\mu$ quand on adopte les variables anciennes et soit de même

$\mathrm {F} =\mathrm {F} '_{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} '_{2}+\ldots$

le développement de $\mathrm {F}$ quand on adopte les variables nouvelles.

Il est clair d’abord que, pour obtenir $\mathrm {F} '_{0},$ il suffit de remplacer dans $\mathrm {F} _{0},$ $\Lambda$ et $\Lambda '$ par $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Calculons $\mathrm {F} '_{1}.$