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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

Nous avons vu, en effet, que

$\Lambda \,d\lambda +\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\sigma _{i}\,d\tau _{i}$

doit être la différentielle exacte d’une fonction dont toutes les dérivées sont périodiques ; il en sera donc de même des expressions suivantes

${\begin{aligned}\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}&+\Sigma \,\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{0},\\\Sigma \left(\Lambda _{1}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{1}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{1}\right)\\\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{0}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{0}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}$

Dans chacune de ces expressions, le premier signe $\Sigma$ s’étend aux deux planètes, de telle sorte, par exemple, que

$\Sigma \,\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}=\Lambda _{0}\,d\lambda _{0}+\Lambda _{0}'\,d\lambda _{0}'.$

Si nous regardons un instant les $w'$ comme des constantes et les $w$ comme seuls variables, ces expressions demeureront a fortiori des différentielles exactes, mais $d\tau _{i}^{0}$ et $d\sigma _{i}^{0}$ seront nuls, de sorte que

$\sigma _{i}^{p}\,d\tau _{i}^{0}\quad$ et $\quad \sigma _{i}^{0}\,d\tau _{i}^{p}=d\left(\sigma _{i}^{0}\tau _{i}^{p}\right)$

seront des différentielles exactes. Comme il en est de même de $\Lambda _{0}\,d\lambda _{p},$ et que $\lambda _{0}=w_{1},$ $\lambda _{0}'=w_{2},$ les expressions

${\begin{aligned}\Lambda _{1}\,dw_{1}&+\Lambda _{1}'\,dw_{2},\\\Lambda _{2}\,dw_{1}+\Lambda _{2}'\,dw_{2}&+\Sigma \,\Lambda _{1}\,d\lambda _{1}+\Sigma \,\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{1},\\\Lambda _{3}\,dw_{1}+\Lambda _{3}'\,dw_{2}+\Sigma \left(\Lambda _{2}\,d\lambda _{1}+\Lambda _{1}\,d\lambda _{2}\right)&+\Sigma \left(\sigma _{i}^{2}\,d\tau _{i}^{1}+\sigma _{i}^{1}\,d\tau _{i}^{2}\right),\;\;\ldots .\end{aligned}}$

seront encore les différentielles exactes de fonctions dont les dérivées sont périodiques et dont, par conséquent, les dérivées par rapport à $w_{1}$ et $w_{2}$ ont une valeur moyenne indépendante des $w'.$

En raisonnant alors comme au numéro précédent quand nous avons déduit les équations (14) des équations (13), nous trouverons

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\left[\Lambda _{1}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\left[\Lambda _{2}\right]+\Sigma \left[\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{1}}}\right]+\Sigma \left[\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{1}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\left[\Lambda _{3}\right]+\Sigma \left[\Lambda _{2}{\frac {d\lambda _{1}}{dw_{1}}}+\Lambda _{1}{\frac {d\lambda _{2}}{dw_{1}}}\right]+\Sigma \left[\sigma _{i}^{2}{\frac {d\tau _{i}^{1}}{dw_{1}}}+\sigma _{i}^{1}{\frac {d\tau _{i}^{2}}{dw_{1}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$