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CHAPITRE XV.
D’autre part, l’expression
(5)
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doit être une différentielle exacte et, comme les
sont des constantes,
il doit en être de même de
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)\,dy_{i}=d\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596286f0c50319c467f9ca7d6936c4c2e6e41d81)
ce qui donne
(6)
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Je dis maintenant que les équations (2) sont une conséquence
des équations (1), (3), (4) et (6). En effet, les équations (6) signifient
que l’expression (5) est une différentielle exacte et les conditions
d’intégrabilité de cette expression peuvent s’écrire
(7)
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Multiplions cette équation par
puis, conservant à
une
valeur constante, faisons successivement
Enfin ajoutons les
équations ainsi obtenues ; il viendra, en
tenant compte de (3),
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}_{i}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}-{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}{\frac {dy_{i}}{dt}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499540c21ddaf279665a11d82a3102d3033c40e9)
ou, en tenant compte de (1),
(8)
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Différentions maintenant (4) par rapport à
il viendra
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}+{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829dd95f0b437093f4197bb0c938ccbe2820c1b1)
ou, en rapprochant de (8),
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sum }}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d2cfd4f12642a921daf469e06847c016933ea8)
d’où
C.Q.F.D.