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AUTRES PROCÉDÉS DE CALCUL DIRECT.

Nous pouvons donc déterminer nos séries à l’aide des équations suivantes

 (4),  (6)

et

(1 bis)

${\textstyle \sum }\,n_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot$

Dans ces diverses équations remplaçons les $x_{i},$ les $y_{i},$ les $n_{k}$ et $\mathrm {S}$ par leurs développements suivant les puissances de $\mu$

${\textstyle \sum }\,\mu ^{p}x_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}y_{i}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}n_{k}^{p},\quad {\textstyle \sum }\,\mu ^{p}\mathrm {S} _{p}.$

Égalons ensuite dans les deux membres les coefficients des puissances semblables de $\mu .$

Nous obtiendrons ainsi une série d’équations qui nous permettront de déterminer par récurrence les coefficients des séries.

Imaginons en effet qu’on ait calculé

${\begin{array}{rrrrr}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&y_{i}^{2},&\ldots ,&y_{i}^{p-1},\\n_{k}^{0},&n_{k}^{1},&n_{k}^{2},&\ldots ,&n_{k}^{p-1},\\\mathrm {S} _{0},&\mathrm {S} _{1},&&\ldots ,&\mathrm {S} _{p-1},\end{array}}$

et qu’on se propose de déterminer

$x_{i}^{p},\quad y_{i}^{p},\quad n_{k}^{p},\quad \mathrm {S} _{p}.$

Dans l’équation (4) égalons les coefficients de $\mu ^{p},$ il viendra

(9)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}x_{k}^{0}=\Phi +\mathrm {const.}$

Je désigne par $\Phi ,$ ainsi que je le ferai dans tout ce Chapitre, une fonction quelconque, entièrement connue et périodique des $w.$ Inutile d’ajouter que les diverses fonctions que je désigne ainsi par $\Phi$ ne sont pas identiques. Quant à la constante du second membre de (9), elle est arbitraire comme la constante du second membre de (4).

Égalons maintenant dans les deux membres de (6) les coefficients de $\mu ^{p},$ il viendra

(10)

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=x_{k}^{p}+\Phi ,$