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CHAPITRE XV.

d’où, tenant compte de (9),

(11)

${\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dw_{k}}}=\Phi +\mathrm {const.}$

La fonction $\mathrm {S} _{p}$ doit avoir toutes ses dérivées périodiques par rapport aux $w,$ c’est-à-dire qu’elle doit être de la forme

$\alpha _{1.p}w_{1}+\alpha _{2.p}w_{2}+\ldots +\alpha _{n.p}w_{n}+\varphi ,$

les $\alpha _{k.p}$ étant des constantes et $\varphi$ une fonction périodique.

L’équation (11), par un calcul tout semblable à l’intégration de l’équation (6) du n^o 125, nous fera connaître $\mathrm {S} _{p}.$ J’ajoute que les constantes $\alpha _{k.p}$ peuvent être choisies arbitrairement en fonctions des constantes $x_{i}^{0},$ puisque la constante du second membre de (11) est elle-même arbitraire.

$\mathrm {S} _{p}$ étant déterminé, les équations (10) nous donneront les $x_{k}^{p}$ dont la valeur moyenne $\alpha _{k.p}$ peut, comme nous venons de le voir, être choisie arbitrairement.

Les $x_{i}^{p}$ étant connus, égalons dans les deux membres de (1 bis) les coefficients de $\mu ^{p}.$ Il viendra

(12)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{p}}{dw_{k}}}=\Phi -n_{i}^{p}.$

On commencera par déterminer la constante $n_{i}^{p}$ de façon à annuler la valeur moyenne du deuxième membre de (12). L’équation (12) nous donnera ensuite $y_{i}^{p}$ par un calcul tout semblable à celui du n^o 127. Observons en passant que la valeur moyenne de $y_{i}^{p}$ peut être choisie arbitrairement en fonction des $x_{i}^{0}.$

Autre exemple.

159.Soient

${\begin{array}{rrrr}\xi _{1},&\xi _{2},&\ldots ,&\xi _{n},\\\eta _{1},&\eta _{2},&\ldots ,&\eta _{n}\end{array}}$

nos $n$ paires de variables conjuguées.

Supposons que $\mathrm {F}$ soit développable suivant les puissances croissantes des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i}\,;$ que dans ce développement il n’y ait pas