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CHAPITRE XVI.

en $\rho ^{3}$ et écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho -\mathrm {C} \rho ^{2}=\mathrm {B} -\mathrm {C} \rho ^{3}$

ou

(6 c)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} +\alpha \rho -\mathrm {C} \rho ^{3},$

et faire ensuite

$\rho =\chi =0$

dans le second membre.

3^o Il est clair que $\mathrm {A}$ sera une fonction développable suivant les sinus et cosinus des multiples de $v$ et de $v'.$ Soit alors

$\mathrm {C} \sin(mv+nv'+k)$

un terme de $\mathrm {A} \,;$ $m$ et $n$ sont des entiers et $k$ une constante. Remplaçons-y $v$ par $v_{1}+\chi$ et $v'$ par sa valeur approchée $v_{1}',$ exprimée en fonction de $v_{0},$ nous aurons évidemment

${\begin{aligned}v_{1}&=v_{0}+\varphi ,\\v_{1}'&=\mu v_{0}+\varphi ',\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant des séries développées suivant les sinus et cosinus des multiples de $v_{0}$ et de $\mu v_{0}$ et $\mu$ étant le rapport des moyens mouvements. Les termes complémentaires $\varphi$ et $\varphi '$ seront d’ailleurs beaucoup plus petits que les termes principaux $v_{0}$ et $\mu v_{0}.$

Alors l’expression

$\mathrm {C} \sin(mv_{1}+nv_{1}'+k)$

pourra également se développer en une série ordonnée suivant les lignes trigonométriques des multiples de $v_{0}$ et de $\mu v_{0},$ et le terme principal du développement sera

$\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+k).$

De même, si dans l’expression

$\mathrm {C} \sin(mv+nv_{1}'+k),$

nous remplaçons $v$ et $v_{1}'$ par

$v_{0}+\chi +\varphi \quad$ et $\quad \mu v_{0}+\varphi ',$