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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

cette expression sera développable suivant les lignes trigonométriques des multiples de

$v_{0},\quad v_{0}+\chi \quad$ et $\quad \mu v_{0}$

et le terme principal du développement sera

$\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k).$

C’est ce terme que nous ferons passer dans le premier membre de l’équation (5), qui s’écrira alors

(5 a)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}-\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k)=\mathrm {A} '$

où

$\mathrm {A} '=\mathrm {A} -\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k).$

Dans $\mathrm {A} '$ on fera ensuite

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0,$

de telle façon que $\mathrm {A} '$ puisse être regardé comme une fonction connue de $v_{0}.$

Le plus souvent on se contentera de prendre

${\begin{aligned}v_{1}&=v_{0},&v_{1}'&=\mu v_{0}\end{aligned}}$

et l’exposition du procédé précédent s’en trouvera un peu simplifiée.

Les équations (6 b), (6 c) et (5 a) sont celles dont M. Gyldén fait le plus souvent usage.

Observons qu’elles sont toutes de la forme suivante

(α)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}=f(\rho ,v_{0})$

ou

(β)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}=f(\chi ,v_{0})$

Elles sont donc susceptibles d’être ramenées à la forme canonique d’après ce qu’on a vu au Tome 1, page 12 [équation (3) du n^o 2].

Nous avons supposé que dans les seconds membres de nos