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MÉTHODES DE M. GYLDÉN.
raître le signe
deviendrait du troisième ordre. Mais M. Gyldén
la réduit au second ordre, en profitant de la petitesse du nombre
et en employant un procédé analogue dans son esprit à celui que
nous venons d’appliquer à des exemples plus simples.
En effet,
et
sont du premier ordre, de sorte que le terme
![{\displaystyle \alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d146c2a35b18155c6bd53a179c97e5bae43c3b)
peut être regardé comme du second ordre. Ou aura alors, en négligeant
les quantités du troisième ordre,
![{\displaystyle \alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\alpha \rho =\alpha ^{2}\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea68bf36ad743cbbc2ae448d46a2a45164189b9)
d’où
(7)
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et en intégrant par parties et appelant
et
les dérivées de
par rapport à ![{\displaystyle v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597)
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv=\mathrm {C} \,{\frac {d\rho }{dv}}-\mathrm {C} '\rho +\int \rho \,\mathrm {C} ''\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4189388e75d908d1613c68ec9b4091ac2a3233b7)
En général, la quadrature
pourra s’effectuer aisément,
de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {B} \int \mathrm {AC} \,dv=\mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a5b7697ca4a8c561dd036eeca7660ece2f47a1)
pourra être regardé comme une fonction connue de
et que l’intégrale
sera ramenée à l’intégrale
qui est de même
forme.
En général, dans les exemples que M. Gyldén a eu à traiter,
est de la forme
![{\displaystyle \mathrm {C} =\beta \sin(\lambda v+\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115a0683ae6abce94dba7ce90bd6ca67fc40e1a4)
et
étant des constantes. Il en résulte que
![{\displaystyle \mathrm {C} ''=-\lambda ^{2}\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a205b0496529157b7ac8b3ece9c5e293027fd0c)
d’où
![{\displaystyle \alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {D} -\alpha \,\mathrm {BC} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\alpha \,\mathrm {BC} '\rho +\lambda ^{2}\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e679c375c84499f91bcb6afa2185d467170ad261)