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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Étude de l’équation de Gyldén.

178.Envisageons donc l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$

Nous venons de voir que M. Gyldén, dans le cours de ses recherches, avait été conduit à envisager l’équation suivante (Cf. n^o 169, équations (α) et (β))

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,t),$

$f(x,t)$ étant une fonction développable suivant les puissances de $x$ et périodique par rapport à $t.$

Or il arrive, dans les applications que M. Gyldén a faites de cette équation, que les termes les plus importants de $f(x,t)$ sont de la forme

$\varphi (t)+x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right),$

$\varphi (t)$ étant une fonction périodique de $t$ seulement, et que tous les autres termes peuvent être négligés dans une première approximation.

L’équation (2) peut alors être remplacée par la suivante

(3)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\varphi (t)+x\left(-q^{2}+q_{1}\cos 2t\right).$

C’est une équation linéaire à second membre, dont l’intégration se ramène aisément, comme l’on sait, à celle de l’équation sans second membre correspondante, qui n’est autre que cette équation (1).

Étudions donc cette équation (1) et rappelons d’abord ce que les résultats généraux, démontrés dans le premier Volume au sujet des équations linéaires (Chap. II, n^o 29, et Chap. IV, passim) vont nous permettre d’en dire.

Ils nous apprennent d’abord que cette équation (1) admet deux intégrales particulières de la forme

${\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t),\end{aligned}}$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ étant deux fonctions périodiques de $t,$ de période $\pi$ et les