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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

d’où

$\left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{4}}}{\left({\dfrac {3n}{4\alpha }}\right)^{\frac {3n}{4}}}}\cdot$

Nous observerons que, la fonction $\nabla (z)$ étant paire, les coefficients $\mathrm {C} _{2n+1}$ sont nuls.

Je me propose de démontrer que $\nabla ,$ considéré comme fonction de $\mathrm {Z} ^{2},$ est de genre zéro. En vertu d’un théorème de M. Hadamard (Cf. Comptes rendus, t. CXV, p. 1121), il suffit pour cela d’établir que

$|\mathrm {C} _{2n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n+1)^{-\mu },$

$\mu$ étant plus grand que 1.

Or il vient

$|\mathrm {C} _{2n}|\,\Gamma (n+1)^{+\mu }<\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{2}}\left({\frac {3n}{2\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{2}}}\Gamma (n+1)^{+\mu }.$

Si l’on remplace $\Gamma (n+1)$ par sa valeur approchée, le second membre devient

$\mathrm {K} \,e^{{\frac {3n}{2}}-n\mu }\left({\frac {3}{2\alpha }}\right)^{\frac {3n}{2}}n^{n\mu -{\frac {3n}{2}}}\left(2\pi n\right)^{\frac {\mu }{2}}.$

Il s’agit de démontrer que, pour une valeur de $\mu >1,$ cette expression reste limitée. Or, si

$\mu <{\tfrac {3}{2}},$

elle tend vers zéro, quand $n$ croît indéfiniment.

Il suffira donc de prendre

$1<\mu <{\tfrac {3}{2}}\cdot$

Il résulte de là que la fonction $\nabla (z)$ peut se développer en un produit de la forme

[5]

$\nabla (z)=\mathrm {A} \prod \left(1-{\frac {z^{2}}{b_{n}}}\right)\cdot$

Il reste donc à connaître les zéros de la fonction $\nabla (x)\,;$ d’après