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CHAPITRE XVII.

la nature même de la question, ces zéros seront

$x=\pm (h+2n),$

$n$ étant un entier. En effet, c’est pour ces valeurs, et pour elles seulement, que les équations (2) et (2 bis) du n^o 186 et par conséquent l’équation (3) du n^o 186 pourront être satisfaites.

Les zéros de $\nabla (x)$ sont donc les mêmes que ceux de

$\cos \pi x-\cos \pi h\,;$

comme ces deux fonctions sont toutes deux développables en produits infinis de la forme (5) et que les facteurs de ces deux produits, sauf la constante $\mathrm {A} ,$ sont les mêmes, les deux fonctions ne pourront différer que par un facteur constant et l’on aura

(6)

$\nabla (x)=\mathrm {A} (\cos \pi x-\cos \pi h).$

Mais $\nabla (x)$ n’est pas seulement fonction de $x,$ c’est une fonction entière de $q^{2}$ et de $q_{1},$ et l’on démontrerait absolument de la même manière que c’est une fonction de genre zéro tant par rapport à $q^{2}$ que par rapport à $q_{1}.$

Il y a plus ; soit, par exemple,

${\begin{aligned}\nabla (x)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}q_{1}^{n},\\\mathrm {A} &={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}'q_{1}^{n},\\\mathrm {A} \cos \pi h&={\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{n}''q_{1}^{n},\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {D} _{n}=\mathrm {D} _{n}'\cos \pi x-\mathrm {D} _{n}''.$

On peut démontrer, absolument de la même manière que plus haut, que

$|\mathrm {D} _{n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n)^{-\mu },$

si $\mu$ est compris entre 1 et 3/2. Comme cette inégalité doit avoir lieu quel que soit $x,$ $\mathrm {D} _{n}'$ devra satisfaire à une inégalité de même forme, de sorte que $\mathrm {A}$ sera une fonction de genre zéro par rapport à $q_{1}$ et l’on verrait de la même façon que c’est une fonction de genre zéro par rapport à $q^{2}.$

Mais $\mathrm {A}$ ne peut jamais s’annuler ; car $\nabla (x)$ ne s’annule jamais identiquement (je veux dire quel que soit $x$). Or une fonction de genre zéro qui ne s’annule pas se réduit à une constante.