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CHAPITRE XVIII.

Ainsi la difficulté dont M. Gyldén se tire en faisant passer le terme en $q_{1}$ dans le premier membre est précisément la même dont nous avons triomphé plus haut par les procédés du Chapitre XI.

Équation de la variation.

196.L’équation (5 a) du n^o 169, dite équation de la variation, s’écrit

(1)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}-\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k)=\mathrm {A} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante et $\mathrm {A}$ une suite de termes très petits que nous supposerons dépendre seulement de $\chi .$

Posons alors

$mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k=\mathrm {V} ,$

l’équation deviendra

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {A} }{m}},$

$\mathrm {A}$ étant une fonction très petite de $\mathrm {V}$ et de $v_{0}\,;$ comme $\mathrm {A}$ est très petit, je puis écrire

$\mathrm {A} =\alpha \,m\,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}),$

$\alpha$ étant un coefficient très petit, et me proposer de développer suivant les puissances croissantes de $\alpha .$

On a donc

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dv_{0}^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\sin \mathrm {V} =\alpha \,\varphi (\mathrm {V} ,v_{0}).$

Sous cette forme on voit que l’équation (1) rentre comme cas particulier dans la suivante

(2)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=\alpha \,\varphi (x,t),$

$f$ et $\varphi$ étant des fonctions quelconques et $\alpha$ un coefficient très petit.

Il en est de même de l’équation (6 c) du n^o 169 qui peut s’écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} ,$