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CHAPITRE XIX.

et enfin celui de ${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}$ par un terme en

$\left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{3}\cdot$

La loi est manifeste ; le développement de ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ commence par un terme en

$\left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{2p-1}\cdot$

Et, en effet, supposons qu’elle soit vraie pour

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}},$

je dis qu’elle est encore vraie pour ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}\cdot$

Considérons l’équation

$n_{1}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}=\Phi +\mathrm {C} _{p}.$

$\Phi$ est un polynôme entier en

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{1}}}\cdot$

Considérons un terme quelconque $u$ de ce polynôme et cherchons à évaluer la somme des indices $q$ des divers facteurs de la forme ${\frac {d\mathrm {S} _{q}}{dy_{1}}}$ qui entrent dans $u.$

Ce terme $u$ provenant d’un terme en $\mu ^{p}$ dans le développement de

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots \right),$

cette somme est au plus égale à $p.$ De plus, si cette somme est égale à $p,$ comme aucun des indices $q$ n’est égal à $p,$ le terme considéré $u$ contiendra au moins deux facteurs.

Le développement de $u$ suivant les puissances de $n_{1}^{0}$ commencera par un terme en

$\left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{{\textstyle \sum }\,(2q-1)}\cdot$

Or

${\textstyle \sum }\,q\leqq p.$