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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

Si

${\textstyle \sum }\,q<p,$

${\textstyle \sum }\,(2q-1)\leqq 2p-2\,;$

si

${\textstyle \sum }\,q=p,$

on aura encore

${\textstyle \sum }\,(2q-1)\leqq 2p-2\,;$

parce qu’il y aura au moins deux facteurs.

Donc le développement de $\Phi ,$ et par conséquent celui de $C_{p},$ commencera par un terme en

$\left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{2p-2}$

et celui de ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$ commencera par un terme en

$\left({\frac {1}{n_{1}^{0}}}\right)^{2p-1}\cdot$
C.Q.F.D.

Mais, $n_{1}^{0}$ étant une constante arbitraire, remplaçons-la par un développement quelconque

$n_{1}^{0}=\alpha _{0}+\mu \alpha _{1}+\mu ^{2}\alpha _{2}+\ldots .$

Alors $\mathrm {S}$ sera développé suivant les puissances positives de $\mu ,$ et les puissances positives et négatives de

$\alpha _{0}+\mu \alpha _{1}+\mu ^{2}\alpha _{2}+\ldots .$

Si $\alpha _{0}$ n’est pas nul, ces puissances positives et négatives peuvent elles-mêmes se développer suivant les puissances positives de $\mu ,$ de sorte que finalement $\mathrm {S}$ se trouvera développé suivant les puissances positives de $\mu .$

Ces développements sont, d’après ce que nous avons vu au n^o 125, les mêmes que ceux qu’on obtiendrait en partant des équations (1), mais en attribuant aux constantes $\mathrm {C} _{p}$ d’autres valeurs que celles que nous leur avons données plus haut.

Maintenant, au lieu de cela, supposons $n_{1}^{0}$ très petit et remplaçons $n_{1}^{0}$ par un développement de la forme

(2)

$n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\alpha _{3}\mu {\sqrt {\mu }}+\ldots .$