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CHAPITRE XIX.

Considérons maintenant l’équation

$\mathrm {F} '\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},\,m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}\right)=\mathrm {C} .$

Nous pourrons l’intégrer facilement par les procédés exposés dans les premiers numéros de ce Chapitre.

Soit

$\mathrm {S} =x_{1}'y_{1}+x_{2}'y_{2}+\ldots x_{n}'y_{n}+\mathrm {S} '$

une des solutions de cette équation. Les coefficients $x_{1}',$ $x_{2}',$ $\ldots ,\,x_{n}'$ sont les constantes d’intégration que j’appelais jusqu’ici $x_{i}^{0},$ mais que j’appelle maintenant $x_{i}'$ parce que je vais bientôt les prendre pour variables indépendantes nouvelles.

Quant à $\mathrm {S} ',$ c’est une fonction périodique de

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}$

dépendant en outre de $x_{1}',$ $x_{2}',$ $\ldots ,\,x_{n}'\,;$ de sorte que la valeur moyenne de ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ n’est autre chose que $x_{i}'$ et que l’expression considérée de $\mathrm {S}$ ne diffère pas de celle à laquelle conduisent les équations (1) du n^o 202.

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&y_{i}'&=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$

Prenons pour variables nouvelles les $x_{i}'$ et les $y_{i}'\,;$ la forme canonique des équations ne sera pas altérée ; la fonction $\mathrm {F}$ exprimée en fonctions des $x_{i}'$ et des $y_{i}'$ conservera la même forme ; seulement les coefficients des termes en

$m_{1}y_{1}'+m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'$

seront beaucoup plus petits que ceux des termes correspondants en

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$

Les inégalités à longue période auront disparu parce qu’en somme on en aura tenu compte dès la première approximation.