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CHAPITRE XIX.
façon que les valeurs moyennes des deux membres de la troisième
équation (3) soient égales. Il doit donc en être de même
des deux membres de l’équation (11), qui ne diffère de la troisième
équation (3) que parce que certains termes ont passé d 'un
membre dans l’autre.
Or
![{\displaystyle \left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4efb04fc80cf599a257c5b36ae822384c182e6)
puisque
![{\displaystyle \mathrm {C} _{2}'=\mathrm {C} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e0626c5b36a50d02d737f9cd66f74b9726de7f)
Donc
![{\displaystyle {\big [}\Phi {\big ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87869a47b1298574f0e5cdd9c32ddb9b3d5a69f0)
C.Q.F.D.
Pour achever de connaître
il reste à déterminer la fonction
arbitraire
![{\displaystyle \psi ={\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b2cec7263208ae4ba1a7033f59c3b2f42d320f)
À cet effet, égalons les valeurs moyennes des deux membres de
la quatrième équation (3). Il vient, en vertu des relations (10),
![{\displaystyle \left[{\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e53881e38a2320585ae2727f892cfb0f743cdb)
et de plus
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{k}}}\right]={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1bf81a6e6dca601e3cfb08c75ecf9627869504)
puisque
ne dépend que de
Nous
obtenons donc
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}}={\big [}\Phi {\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdfc1f024ba707ecf32bd06157c34b69de9fb0a)
Si nous désignons par
la dérivée de
par rapport à
![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70a63d5ec3ccc75dcd03873efca076e10b48130)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}}&=m_{i}f',{\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{k}}}&=m_{k}{\big [}\mathrm {S} _{2}'{\big ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02fcf9b7ed06d0af8d5d3f08233433cfbff3338)
et nous pourrons écrire
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}\,dx_{k}}}m_{i}m_{k}{\big [}\mathrm {S} _{2}'{\big ]}={\frac {{\big [}\Phi {\big ]}}{f'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad421e51f70660405b50237aa4532a685f08d5ac)
Comme
ne s’annule pas,
est une fonction périodique de