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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$m_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}y_{n},$ qui ne devient pas infinie et ${\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}$ est de la forme

$a(m_{1}y_{1}+\ldots +m_{n}y_{n})+\psi ,$

$a$ étant un coefficient constant et $\psi$ une série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$

$\mathrm {S} _{2}$ étant ainsi entièrement déterminé, la quatrième équation (3) s’écrit

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}=\Phi ,$

elle prend une forme tout à fait analogue à celle de l’équation (11), et se traite de la même manière. Et ainsi de suite.

J’ai dit plus haut que les hypothèses (9) et (10) ne restreignaient pas la généralité.

Et en effet considérons une solution de notre équation fondamentale et conforme à ces hypothèses (9) et (10) ; soit $\mathrm {S}$ cette solution et soit

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .$

Soit, d’autre part,

$\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\ldots +x_{n}^{0}y_{n},$

et

$\mathrm {S} _{p}=\alpha _{1}^{p}y_{1}+\alpha _{2}^{p}y_{2}+\ldots +\alpha _{n}^{p}y_{n}+{}$ fonction périodique.

Les $\alpha$ satisferont en vertu des hypothèses (9) et (10) à la condition

${\frac {\alpha _{1}^{p}}{m_{1}}}={\frac {\alpha _{2}^{p}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {\alpha _{n}^{p}}{m_{n}}}$

et seront d’ailleurs des fonctions des constantes d’intégration $x_{i}^{0}$ et $\mathrm {C} _{p}.$

Comme les $x_{i}^{0}$ sont des constantes arbitraires, je puis les remplacer par des développements quelconques

$x_{i}^{0}=\beta _{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{i}^{1}+\mu \,\beta _{i}^{2}+\ldots ,$

les $\beta _{i}^{p}$ étant de nouvelles constantes arbitraires.

Si dans $\mathrm {S}$ nous remplaçons les $x_{i}^{0}$ par ces développements, puis que nous ordonnions de nouveau par rapport aux puissances