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CHAPITRE XIX.
d’où
![{\displaystyle x_{2}=x_{2}'+\theta _{2}+y_{1}'\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{2}}}-x_{1}'\,{\frac {d\theta _{3}}{dy_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bbaa42766fe47b34af641c0c088d52703d4d6f)
Quelle sera la forme de la fonction
exprimée à l’aide des
nouvelles variables ?
Observons d’abord que
et
sont, en vertu des nos 42 à 44,
développables suivant les puissances croissantes de
et que,
pour
elles se réduisent à des constantes
et
![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
On voit ainsi que
et
sont des fonctions de
et
et de
développables suivant les puissances de
et périodiques
par rapport à
Pour
elles se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}'+x_{2}^{0},&y_{1}&=y_{1}'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7a1ae20831b2b3f4a9502d8460cc33b01d8d66)
Donc
conserve la même forme quand on l’exprime en fonction
des variables nouvelles : je veux dire que
est développable suivant
les puissances de
et périodique par rapport à
mais
n’est pas périodique par rapport à
Les nouvelles équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62970572ea7f31fc43a50479ee31ad5bf20c60f)
admettent évidemment pour solution
![{\displaystyle x_{1}'=0,\qquad x_{2}'=0,\qquad y_{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7912b17ea076c329aa797ee528db681857d7b98)
puisque les anciennes admettaient
![{\displaystyle x_{1}=\theta _{1},\qquad x_{2}=\theta _{2},\qquad y_{1}=\theta _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60343d86f85461c82af949faf90be23c1afb42b4)
Nous en concluons que les trois dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f349e6e6d087dcce377768eb3ebe2ad575218662)
s’annulent à la fois quand on y fait
![{\displaystyle x_{1}'=x_{2}'=y_{1}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c85248b03251e269657958aecba25f7fcb62ad7)
D’autre part, quand on fait
se réduit à une