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CHAPITRE XIX.
De plus, les fonctions
et
doivent être périodiques en
elles devront se réduire à des constantes
et
pour
Enfin je m’impose une condition de plus, je veux que
![{\displaystyle x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+\ldots +x_{n}\,dy_{n}=d\theta +\eta _{0}\,d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ffa33514c98e474c864f351d76d337695079d6)
soit la différentielle exacte d’une fonction
de
On en tire
(41)
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et l’on en conclut que les dérivées de
sont des fonctions périodiques.
On aura de plus
(42)
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c’est-à-dire qu’en remplaçant dans
les variables
et
par
les fonctions
et
on réduit
à une constante.
On vérifierait aisément par un calcul qui rappelle quelques-uns
de ceux du Chapitre XV que la deuxième équation (40) est une
conséquence nécessaire des deux autres et des équations (41)
et (42).
Si, en effet, on différentie l’équation (42) par rapport à
et
qu’on la transforme ensuite en tenant compte de la première et de
la troisième équation (40) ainsi que des relations
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dy_{k}}}+{\frac {dy_{1}}{dy_{k}}}{\frac {dx_{1}}{dy_{i}}}={\frac {dx_{k}}{dy_{i}}}+{\frac {dy_{1}}{dy_{i}}}{\frac {dx_{1}}{dy_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469399f36ccac933bb03e2339b0f0a55c3b33070)
déduites des relations (41) par différentiation, on retrouvera la
seconde équation (40).
Nous conserverons donc, pour définir les fonctions
et
la première et la troisième équation (40) ainsi que les équations (41)
et (42).
Nous allons chercher à développer les fonctions
et
suivant
les puissances de
sous la forme
(43)
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