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CHAPITRE IX.
ne soit la différentielle exacte d’une fonction de
qui n’est autre alors que la fonction
que nous avons considérée
un peu plus haut.
3o Dans les séries (2) changeons
![{\displaystyle x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656448004856f54f4cbd538519502c1bd22fc21a)
en
![{\displaystyle x_{1}^{0}+\mu v_{1},\quad x_{2}^{0}+\mu v_{2},\quad \dots ,\quad x_{n}^{0}+\mu v_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0020507fb649790f974d6379ce443c6b807b6bc)
étant des fonctions de
et
développables suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Si les
sont regardées comme des constantes, les
seront
également des constantes.
Si l’on altère de la sorte la valeur des constantes d’intégration,
les séries (2) conserveront la même forme et elles ne cesseront pas
de satisfaire formellement aux équations (1).
En résumé, écrivons les séries (2) sous la forme suivante
(2)
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en mettant ainsi en évidence que
et
dépendent
non seulement des
et de
mais des ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Soient ensuite
![{\displaystyle \omega _{1},\quad \omega _{2},\quad \dots ,\quad \omega _{n};\quad v_{1},\quad v_{2},\quad \dots ,\quad v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c40a87f311378260d365e5e44ac6fafc0bd460b)
fonctions des
et de
développables suivant les puissances
de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Formons les séries
(2 quater)
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ces séries satisferont formellement aux équations (1) quelles que
soient les fonctions
et ![{\displaystyle v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f6b09bb5d4cc2995af950d87d91ad372e9c085)
De plus les fonctions
![{\displaystyle \varphi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu )\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0929d16eefef9ae9727aaab9d6b55434f04ec9ad)
et
![{\displaystyle \quad \psi _{i}(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ba431c139c84023a0201f14fcf566eb3ea27c3)
étant périodiques par rapport aux
il en sera de même des fonctions
![{\displaystyle v_{i}+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )\quad \mathrm {et} \quad \omega _{i}+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5efec1b37d43b97bcacc5b683aa7b8acdf7bb29)