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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.
Une deuxième remarque :
Posons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}v_{i}&+\varphi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\varphi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}(w_{k}+\mu \omega _{k},\,x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\psi _{i}'(w_{k},\,x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948b0d203d904c0cf676d4fbc0570c773b5ed214)
Les fonctions
et
sont des fonctions périodiques
des
je vais considérer les valeurs moyennes de ces fonctions
périodiques et je les appellerai respectivement
![{\displaystyle \varphi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \varphi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu ),\quad \psi _{i}'^{0}(x_{k}^{0},\,\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c157e8704161be7f464f5ec6b3a387ec93ba0930)
Cela posé, voici ce que je me propose de démontrer :
Soient
et
fonctions tout à fait arbitraires
de
et
assujetties seulement à être
développables suivant les puissances de
Je dis qu’on pourra toujours, quelles que soient ces fonctions
et
choisir les fonctions
et
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}'^{0}&=\theta _{i},&\psi _{i}'^{0}&=\eta _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652f5fdfcad3840b846c10b63f0b1f50ccaa86a8)
En effet, il suffit pour cela de définir les
et les
par les
équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}v_{i}&+\varphi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\theta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ),\\\omega _{i}&+\psi _{i}^{0}&(&x_{k}^{0}+\mu v_{k},\,\mu )&{}={}&\eta _{i}(x_{k}^{0},\,\mu ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92175d1dafbf48dc189df8f1063d35ffa02135e1)
Or on peut toujours tirer de ces équations les
et les
sous la
forme de séries ordonnées suivant les puissances de
et dont les
coefficients sont des fonctions de ![{\displaystyle x_{k}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd609b106e5a84c67812f7af4897d16501ddd349)
Si nous écrivons les séries (2 quater) sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}x_{i}&=x_{i}^{0}&{}+{}&\mu x_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\\y_{i}&=w_{i}&{}+{}&\mu y_{i}^{1}&{}+{}&\mu ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\dots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356d4db1cd301d5650dfd2e4645d18f6f0d99231)
les
et les
sont des fonctions périodiques des
D’après la
remarque qui précède, on peut toujours s’arranger de telle
façon que les valeurs moyennes de ces fonctions périodiques
et
soient telles fonctions que l’on veut de
![{\displaystyle x_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc41c0e2ae794149f133caeb538726238d83634)