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CHAPITRE XIX.

De plus, la dérivée seconde de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{1}^{0}$ ne sera pas nulle en général, de sorte que $x_{1}^{0}$ sera une fonction holomorphe des autres $x_{i}^{0}.$

Il résulte de tout cela que les ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$ seront des fonctions holomorphes pour toutes les valeurs réelles des $y_{i}$ et pour les valeurs de

$x_{2}^{0},\quad x_{3}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0},\quad \mathrm {C} _{2}.$

voisines de celles que l’on considère.

Soient donc

$\lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \ldots ,\quad \lambda _{n},\quad \gamma$

des valeurs de ces constantes voisines de celles que l’on considère. Posons

$\lambda _{1}=\varphi (\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{n}).$

Les deux membres des équations (2) vont être développables suivant les puissances de

${\begin{array}{rrrrrr}{\sqrt {\mu }},&x_{1}-\lambda _{1},&x_{2}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}-\lambda _{n},\\&x_{1}^{0}-\lambda _{1},&x_{2}^{0}-\lambda _{2},&\ldots ,&x_{n}^{0}-\lambda _{n},&\mathrm {C} _{2}-\gamma ,\end{array}}$

et suivant les sinus et cosinus des multiples des $y_{i}.$

Mais, avant d’appliquer le théorème du n^o 30 aux équations (2), nous allons transformer l’une de ces équations. À cet effet, posons

$x_{1}=\varphi (x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})+{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'.$

Alors la première équation (2) devient

$\varphi (x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})+{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'=\varphi (x_{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots ,$

ou, en tenant compte des autres équations (2),

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\,x_{1}'=&\varphi \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{3}}},\ldots ,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}}\right)-\varphi \left(x_{2}^{0},x_{3}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}\right)\\&+{\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

Or nous savons que ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{2}}},$ ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{3}}},$ $\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{n}}}$ sont nuls, ce qui veut