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SÉRIES DE M. BOHLIN.
elles deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{k}&=y_{k}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}\,y,\\e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}&=e^{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{\alpha _{1}\,d\lambda }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2375a8649615004778e5bcf5863cf0ee5661f7a0)
Le déterminant fonctionnel des seconds membres de ces équations
par rapport à
se réduit à 1 pour
Cela va nous permettre d’appliquer le théorème du no 30.
Il en résulte que, pour toutes les valeurs de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a5308d2767c9d9245e49d53863e65bd973d58d)
les
sont développables suivant les puissances de
et de
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4c019e81b6b20e21606809690f2e85f9cb56e0)
Les coefficients des développements sont des fonctions de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
Pour nous rendre compte de la forme de ces fonctions, observons
que, quand
augmente de
augmente de
Nous conclurons que
et
![{\displaystyle y_{k}-w_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace18f9e186f03ec7c02dff328424a8e48bfe1ae)
est développable en séries procédant suivant les puissances de
et
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88af5f544fb1ce30a148985f6c5895904125fc)
et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de
![{\displaystyle w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9984a8a761b0aea8988d83e0feddd5ef9225e17)
La première équation (2 bis) nous fait voir ensuite, immédiatement,
que les
sont développables en séries de la même forme.
Si, au lieu de supposer
négatif et très grand, et
très voisin
de zéro, nous avions supposé
positif et très grand et
très
voisin de
nous serions arrivé au même résultat ; seulement, au
lieu de séries procédant suivant les puissances de
et
![{\displaystyle e^{\frac {w_{1}}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88af5f544fb1ce30a148985f6c5895904125fc)