Ces séries sont convergentes si est suffisamment grand ; dans ce cas il suffit de les sommer ; quand elles deviennent divergentes, on peut néanmoins prolonger les fonctions et par continuité analytique ; et il arrive qu’en poursuivant ainsi jusqu’à des valeurs de plus petite que 1, la forme de ces fonctions est complètement modifiée, parce que la période réelle devient imaginaire et inversement.
C’est donc la double périodicité qui explique les cas si différents que nous avons rencontrés dans cette étude ; la période qui est réelle dans le cas ordinaire est imaginaire dans le cas de la libration et inversement. Dans le cas limite, une des périodes devient infinie.
Mais on peut se demander comment ces résultats peuvent s’étendre au cas où étant une fonction quelconque dépendant de seulement et périodique en les équations (1) deviennent alors
| (1 ter) |
Soit le maximum de
On est dans le cas ordinaire si
et, dans le cas de la libration, si
Mais ici et ne sont plus des fonctions elliptiques de Elles ne sont donc plus uniformes et doublement périodiques pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de (bien que, bien entendu, elles restent uniformes pour toutes les valeurs réelles de ).
Les résultats précédents subsistent néanmoins.
Il suffit de nous restreindre à un domaine tel que la partie imaginaire de soit suffisamment petite et que d’autre part soit suffisamment voisin de
