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CHAPITRE XX.

Si alors l’on regarde $x,$ $\cos {}y$ et $\sin {}y$ comme des fonctions de $\theta w$ et de $\mathrm {C}$ ${\bigg (}$ou de $\theta w{\sqrt {\mu }},$ et de $\mathrm {C} _{1}={\frac {\mathrm {C} }{\mu }}{\bigg )},$ ces fonctions sont uniformes et doublement périodiques pourvu qu’on ne sorte pas du domaine $\mathrm {D} \,;$ l’une des périodes est égale à l’intégrale du second membre (1 ter) prise entre 0 et $2\pi$ et l’autre à deux fois cette même intégrale prise entre deux valeurs de $y_{1}$ qui rendent $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ égal à $\mathrm {C} .$

Cela suffit pour que les circonstances du passage du cas ordinaire à celui de la libration soient les mêmes que dans le cas particulier que nous avons étudié d’abord.

Pour étendre plus facilement ces résultats au cas général, il peut y avoir lieu d’introduire le moyen mouvement $n_{1},$ que j’appellerai ici simplement $n,$ puisque j’ai supprimé partout l’indice 1 devenu inutile.

Il vient alors, d’après les principes du n^o 3,

$n={\frac {1}{\theta }}={\frac {2\pi }{\omega _{1}}}\cdot$

D’autre part, si l’on développe $n$ suivant les puissances de $\mu ,$ comme nous l’avons fait dans ce qui précède, de telle sorte que

$n=n^{0}+\mu \,n^{1}+\ldots ,$

il viendra, pour $\mu =0,$

$\omega _{1}=\int {\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {C} }}}={\frac {2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} }}},$

d’où

$n^{0}\Phi ={\sqrt {\mathrm {C} }}.$

Nous pouvons donc prendre pour variables $n^{0}$ et $\mu$ au lieu de $\mathrm {C}$ et $\mu .$

Alors les séries (2) procéderont suivant les puissances de $\mu$ et de ${\frac {1}{n^{0}}},$ ce qui les rend analogues aux séries envisagées au n^o 201, qui contenaient des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}\quad (q\leqq 2p-1).$

Passons enfin au cas général.