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CHAPITRE XXI.

ou bien encore

(8 bis)

$\sum {\frac {d\Theta }{dz_{i}}}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}}}=\Phi .$

$\Theta$ est une fonction des $z_{i}$ et des $u_{i},$ périodique par rapport aux $u_{i}\,;$ quand on y remplace les $z_{i}$ par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}},$ on obtient le premier membre de (5 bis) ; de même dans (8 bis), je suppose que dans les dérivées ${\frac {d\Theta }{dz_{i}}},$ les $z_{i}$ ont été remplacés par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}\cdot$

L’équation (8 bis) doit déterminer $\mathrm {T} _{1}\,;$ je vais montrer que l’intégration en est aisée quand on sait intégrer (5 bis).

En effet, si nous savons intégrer (5 bis), nous connaîtrons une fonction $\mathrm {T} _{0}$ dépendant des $u_{i}$ et de $q$ constantes $z_{i}^{0}$ et telle que si l’on substitue ses dérivées dans $\Theta$ à la place des $z_{i},$ cette fonction $\Theta$ se réduise à une constante par rapport aux $u_{i},$ c’est-à-dire à une fonction des $z_{i}^{0}$ que j’appelle

$\theta (z_{1}^{0},z_{2}^{0},\ldots ,z_{q}^{0}).$

Nous poserons d’autre part

(9)

${\begin{aligned}z_{i}&={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}\,;&u_{i}^{0}&={\frac {d\mathrm {T} _{0}}{dz_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous aurons ainsi $2q$ relations entre les $4q$ quantités $z_{i},$ $u_{i},$ $z_{i}^{0},$ $u_{i}^{0}\,;$ de sorte que nous pourrons prendre pour variables indépendantes, soit les $z_{i}$ et les $u_{i},$ soit les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i},$ soit les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}^{0}.$

Pour éviter toute confusion, nous représenterons les dérivées par la lettre $d$ lorsque nous prendrons pour variables les $z_{i}$ et les $u_{i}$ ou bien les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}^{0},$ et par la lettre $\partial {}$ lorsque nous prendrons pour variables les $z_{i}^{0}$ et les $u_{i}.$

Dans l’équation (8 bis), $\Theta$ doit être considéré comme exprimé à l’aide des $z_{i}$ et des $u_{i}$ ${\bigg (}$car ce n’est qu’après la différentiation qu’on remplace les $z_{i}$ par les ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{du_{i}}}{\bigg )}\cdot$ Au contraire, $\mathrm {T} _{1}$ est une fonction des $u_{i}$ dépendant en outre des constantes d’intégration $z_{i}^{0}.$