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CHAPITRE XXI.

$\Phi$ doit être exprimé en fonction des variables $u_{i}^{0}$ et des constantes d’intégration $z_{i}^{0}.$ Comme les dérivées de $\theta$ ne dépendent que des constantes $z_{i}^{0},$ ce sont aussi des constantes. Il en résulte que l’équation (8 ter) étant à coefficients constants s’intègre immédiatement.

$\Phi$ est périodique par rapport aux $u_{i}\,;$ il arrivera souvent que la forme de la fonction $\mathrm {T} _{0}$ et des équations (9) sera telle que les $u_{i}$ seront des fonctions uniformes des $u_{i}^{0}$ et inversement. Alors les différences $u_{i}-u_{i}^{0}$ seront des fonctions périodiques soit des $u_{i},$ soit des $u_{i}^{0}.$

Alors $\Phi$ qui est périodique par rapport aux $u_{i},$ le sera également par rapport aux $u_{i}^{0}.$ On pourra alors intégrer l’équation (8 ter) de telle façon que les dérivées ${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{du_{i}^{0}}}$ soient périodiques par rapport aux $u_{i}^{0},$ ou, ce qui revient au même, de façon que les dérivées ${\frac {\partial \mathrm {T} _{1}}{\partial u_{i}}}$ soient périodiques par rapport aux $u_{i},$ ou bien encore que $\mathrm {T} _{1}$ augmente d’une constante quand $u_{i}$ augmente de $2\pi .$

L’équation (8) étant ainsi intégrée, l’équation (7) nous donnera ${\frac {d[\mathrm {S} _{2}]}{dy_{1}}},$ de sorte que nous pourrons écrire

$\mathrm {S} _{2}=\mathrm {S} _{2}'+\mathrm {T} _{2},$

$\mathrm {S} _{2}'$ étant une fonction entièrement connue des $y$ et des $u$ et $\mathrm {T} _{2}$ une fonction inconnue ne dépendant que des $u.$

L’équation (6) peut alors s’écrire

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{i}}}=\Phi$

et elle détermine

${\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{2}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{3}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{3}}{dy_{n}}},\quad \mathrm {S} _{3}-[\mathrm {S} _{3}]$

et ainsi de suite.

Extension au problème des trois Corps.

221. Tout se trouve ainsi ramené à l’intégration de l’équation (5). Voyons donc quelle est, dans le cas du problème des