point singulier entre et ; d’où il résulte que l’on a
Ainsi, bien que les fonctions et ne soient pas égales, leurs développements formels suivant les puissances de sont identiques. C’est assez dire que ces développements ne sont pas convergents.
Cela montre toutefois que si est considéré comme un infiniment petit du premier ordre, la différence sera un infiniment petit d’ordre infini, comme est, par exemple,
Et, en effet, dans le cas particulier où on a
ce qui montre que les différences et sont du même ordre de grandeur que
227.Nous retrouverons plus loin les mêmes résultats par des moyens plus simples, mais je tenais à les présenter sous cette forme, afin de mieux faire comprendre le passage du cas ordinaire au cas limite.
Comparons en effet les formules (8) et (12). Dans la formule (8), nous avons une série où entre la quantité comme est un entier, ne pourra prendre que certaines valeurs qui seront d’autant plus rapprochées les unes des autres que sera plus petit. Quand tend vers zéro, la période de l’intégrale croît indéfiniment, et tend vers zéro. Les valeurs de deviennent de plus en plus rapprochées et, à la limite, la série se transforme en une intégrale, ce qui conduit à la formule (12).
Mais quand décroîtra ainsi d’une manière continue, il passera par certaines valeurs pour lesquelles il se produira une circonstance qui mérite de fixer l’attention.
