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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

loppant suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ (Cf. n^o 108) et les traitant ensuite comme je l’ai fait au numéro précédent.

La fonction $\mathrm {T} _{i}$ est, pour $y$ voisin de $2\pi ,$ développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et la fonction $\mathrm {T} _{i}',$ pour $y$ voisin de zéro, se développe suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}\cdot$ Cette propriété est caractéristique. La fonction $\mathrm {S}$ est la seule, en effet, qui soit développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et qui satisfasse à l’équation (2) ; de même $\mathrm {S} '$ est la seule fonction qui soit développable suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}$ et qui satisfasse à l’équation (2).

D’autre part, les n^os 207 à 210 nous apprennent que les fonctions $\mathrm {T} _{i}$ peuvent être mises sous la forme de séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de ${\frac {y}{2}}\cdot$ Elles sont donc développables à la fois suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ pour $y$ voisin de $2\pi ,$ et suivant celles de $\varepsilon$ et de $\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}$ pour $y$ voisin de zéro.

On a donc

$\mathrm {T} _{i}=\mathrm {T} _{i}'.$

Si donc les développements (18) étaient convergents, on aurait

$\mathrm {S} =\mathrm {S} '.$

Donc les développements (18) divergent.

Donc les développements du n^o 108, d’où on peut les tirer, ne convergent pas non plus.

(Cf. Tome I, p. 351, lignes 3 sqq., et Tome II, p. 392, ligne 13.)

232. J’ai supposé, dans ce qui précède, que $\varphi (y)$ s’annule pour $y=0.$ Cette restriction n’a rien d’essentiel. Si $\varphi (0)$ ne s’annulait pas et était égal par exemple à $\mathrm {A} _{0},$ il suffirait d’ajouter aux développements (14) et (15) un terme

${\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\frac {\mathrm {A} _{0}}{2\alpha }},$