Il n’est donc pas nul et le théorème du no 30 est applicable ; si donc nos séries étaient convergentes, nos équations différentielles admettraient intégrales et uniformes par rapport aux et aux et périodiques par rapport aux Or cela est impossible. Donc les séries divergent.
C.Q.F.D.
Le même résultat subsiste dans le cas de la libration ; pour s’en convaincre, on n’a qu’à se rappeler qu’au no 206 nous avons ramené nos équations, par un changement de variables convenable, à la forme des équations du no 134. En raisonnant comme au Chapitre XIII, on montrerait donc encore que la convergence des séries entraînerait l’existence d’intégrales uniformes, contrairement au théorème du Chapitre V.
Même dans le cas limite, les séries sont encore divergentes, mais je ne pourrai le démontrer rigoureusement que plus loin.
On peut se demander par quel mécanisme, pour ainsi dire, les termes de ces séries sont susceptibles de croître de façon à empêcher la convergence.
Dans le cas particulier où il n’y a que deux degrés de liberté, il ne s’introduit pas de petits diviseurs.
En effet, les équations que l’on a à intégrer sont alors de l’une des deux formes
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{2}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}}&=\Phi ,\\{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p}]}{dy_{1}}}&=\Phi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cbe6f8ba61042744ef7f3bc9b944982e9d2de7)
et les seuls diviseurs qui s’introduisent, et ne sont pas très petits.
En revanche on a à effectuer des différentiations et, en différentiant un terme contenant le cosinus ou le sinus de
on introduit en multiplicateur un des entiers qui peut être très grand.
Ce qui empêche la convergence, ce n’est donc pas la présence de petits diviseurs s’introduisant par l’intégration, mais celle de grands multiplicateurs s’introduisant par la différentiation.
On peut aussi présenter la chose d’une autre manière.
