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CHAPITRE XI.

toujours disposer de la constante arbitraire $\mathrm {C} '_{p}$ pour qu’il en soit ainsi.

La détermination de $\mathrm {S} _{p-1}$ est ainsi achevée ; l’équation (7) nous permettra ensuite de déterminer $\mathrm {S} _{p}$ à une fonction arbitraire près de $y_{3}.$ Pour que la valeur de $\mathrm {S} _{p}$ tirée de (7) soit périodique en $y_{1}$ et $y_{2},$ il faut que la valeur moyenne du second membre soit nulle. Or cette valeur moyenne est $\mathrm {C} '_{p}-\mathrm {C} _{p}$ et, comme la constante $\mathrm {C} _{p}$ reste arbitraire, nous pouvons prendre

$\mathrm {C} _{p}=\mathrm {C} '_{p}.$

Ainsi l’on pourra toujours déterminer les fonctions $\mathrm {S} _{p}$ par récurrence. Les conclusions du n^o 125 subsistent donc ; la seule différence, c’est que le développement de $n_{3}$ suivant les puissances de $\mu ,$ au lieu de commencer par un terme tout connu, commence par un terme en $\mu .$

Supposons maintenant qu’il y ait 4 degrés de liberté et huit variables $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4}$ ; $y_{1},$ $y_{2},$ $y_{3},$ $y_{4},$ que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende que de $x_{1}$ et $x_{2},$ et $\mathrm {R}$ de $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},\,x_{4}.$

Les mêmes conclusions subsisteront encore pourvu que :

1^o Il n’y ait entre ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}$ (c’est-à-dire entre $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0}$) aucune relation linéaire à coefficients entiers ;

2^o Il n’y ait non plus entre ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers.

En effet, l’équation analogue à (8) qui sert à déterminer $[\mathrm {S} _{p-i}]$ s’écrit alors

(8 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}&{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{3}}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}{\frac {d[\mathrm {S} _{p-1}]}{dy_{4}}}\\&=(\mathrm {fonction} \;\mathrm {p{\acute {e}}riodique} \;\mathrm {connue} \;\mathrm {de} \;y_{3}\;\mathrm {et} \;y_{4}\;\mathrm {dont} \\&\quad \mathrm {la} \;\mathrm {valeur} \;\mathrm {moyenne} \;\mathrm {peut} \;\mathrm {{\hat {e}}tre} \;\mathrm {rendue} \;\mathrm {nulle} )\end{aligned}}\right.$

et pour que l’on puisse tirer de là $[\mathrm {S} _{p_{1}}]$ en fonction périodique des $y_{3}$ et $y_{4},$ il faut et il suffit qu’il n’y ait entre ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$ et ${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}$ aucune relation linéaire à coefficients entiers.

135.Nous avons supposé jusqu’ici que $\mathrm {R}$ ne dépendait que des variables de la première série $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ et $x_{4}$ (en supposant,