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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
comme à la fin du numéro précédent, qu’il y a 4 degrés de liberté
et que
ne dépend que de
et de
)
Imaginons maintenant que
dépende non seulement de
et
mais encore de
et de
Si nous remplaçons
et
par les constantes
et
et
et
par
et
et que nous égalions ensuite
à une
constante
nous aurons l’équation suivante
(1)
|
|
|
qui définira une fonction
des deux variables
et ![{\displaystyle y_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3568703d5caed306297f0f3f14d0e65ee458ffdb)
Supposons que l’on ait trouvé une fonction
satisfaisant à cette
équation ; que cette fonction dépende en outre des deux constantes
et
et de deux constantes d’intégration nouvelles que j’appellerai
et
La fonction
![{\displaystyle \mathrm {U} =\xi _{1}y_{1}+\xi _{2}y_{2}+\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2957aff51ee3be8f8b83c9bedfdeecc41655b176)
satisfera alors à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {U} }{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{3}}},{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{4}}},y_{3},y_{4}\right)=\mathrm {C} '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a2fa1446e533bee82fa3fa438de134fb581324)
De plus les relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}}&\eta _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\xi _{i}}}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af7200e55b80ebcd70aa23eab7cff808f6898f3)
définiront un changement de variables, les variables anciennes étant
les
et les
et les variables nouvelles étant les
et les ![{\displaystyle \eta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15db564442258b161e5e0aae9ec81db21990d95b)
D’après ce que nous avons vu au no 4, ce changement de
variables n’altérera pas la forme canonique des équations.
On voit aisément que
![{\displaystyle x_{1}=\xi _{1},\qquad x_{2}=\xi _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9d764c513d6692d4bf7a0b51452484db6dc3f)
et, par conséquent, qu’après le changement de variables
ne
dépendra que de
et de ![{\displaystyle \xi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a856f4e4824b4a7cd58e21271952587a295062fc)
Si l’on suppose (ce que nous ferons) que la fonction
est telle
que
(ou
),
(ou
)
soient des fonctions des
et des
périodiques par rapport aux