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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Or ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}$ peut être développé suivant les puissances croissantes des $\Omega _{i}\,;$ il n’y a pas dans ce développement de terme tout connu et les termes du premier degré se réduisent à $\Omega _{i}.$

On tirera de là, par le théorème du n^o 30,

${\begin{aligned}\Omega _{1}&=f_{1}(\rho _{1},\rho _{2}),&\Omega _{2}&=f_{2}(\rho _{1},\rho _{2}),\end{aligned}}$

$f_{1}$ et $f_{2}$ étant des séries développées suivant les puissances de $\rho _{1}$ et de $\rho _{2},$ dont les coefficients dépendent d’ailleurs d’une manière quelconque de

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \omega _{1}\quad$et$\quad \omega _{2}.$

Les termes de degré 0 seront nuls, ceux du premier degré se réduiront respectivement à $\rho _{1}$ et à $\rho _{2}.$

Il résulte de là que $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ seront, comme $\rho _{1}$ et $\rho _{2},$ de l’ordre du carré des excentricités.

D’après la définition de $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2},$ ces quantités pourront être développées suivant les puissances de $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ les coefficients du développement dépendant d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ ces développements ne contiendront pas de termes de degré 0 et les termes du premier degré se réduiront respectivement à $\Omega _{1}$ et à $\Omega _{2}.$

Il résulte de là :

1^o Que $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ sont de l’ordre du carré des excentricités ;

2^o Qu’on peut inversement développer $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ suivant les puissances de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ et qu’on a alors

${\begin{aligned}\Omega _{1}&=\mathrm {V} _{1}+\varphi _{1}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),&\Omega _{2}&=\mathrm {V} _{2}+\varphi _{2}(\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2}),\end{aligned}}$

$\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ ne contenant que des termes du second degré au moins par rapport à $\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}\,;$

3^o Que $\mathrm {T} '$ peut se développer suivant les puissances croissantes de $V_{1}$ et de $V_{2}$ et ne contient alors que des termes du deuxième degré au moins par rapport à ces deux quantités ;

4^o Que le développement de ${\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{1}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {T} '}{d\mathrm {V} _{2}}}$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ commençant par des termes du premier degré, ces deux dérivées sont du même ordre de grandeur que le carré des excentricités ;