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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

aux $v_{i}\,;$ ce serait là, dans les cas où l’on ne pourrait l’éviter, la partie la plus pénible du calcul.

Il suffit pour cela de grouper convenablement les termes et cela est possible pourvu que les excentricités soient petites.

Nous pouvons distinguer dans $\mathrm {F} _{1}$ deux sortes de termes :

1^o Ceux qui sont de degré 0, 1, 2 ou 3 par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ;

2^o Ceux qui sont de degré 4 au moins par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Les termes de la seconde sorte sont beaucoup plus petits que ceux de la première. Soit alors $\mathrm {F} '_{1}$ l’ensemble des termes de la première sorte et $\varepsilon \mathrm {F} ''_{1}$ l’ensemble des termes de la seconde sorte ; nous pourrons supposer que $\varepsilon$ est une constante très petite et que $\mathrm {F} _{1}''$ est fini, et écrire

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} '_{1}+\mu \varepsilon \,\mathrm {F} ''_{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Rien n’empêchera alors de réunir les termes $\mu \varepsilon \,\mathrm {F} ''_{1}$ aux termes $\mu ^{2}F_{2},$ puisque $\mu \varepsilon$ est beaucoup plus petit que $\mu \,;$ ou de chercher à développer suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon .$

Alors on conserve les variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \rho _{i},\quad \omega _{i}\,;$

la valeur moyenne de $\mathrm {F} '_{1}$ se réduit à

$\mathrm {H} +2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}$

(Cf. n^o 131), et est par conséquent indépendante des variables de la seconde série. Or le dernier changement de variables n’avait d’autre but que de rendre $\mathrm {R}$ indépendant des variables de la seconde série. Il est donc maintenant inutile.

Cas général du Problème des trois Corps.

141.Passons maintenant au cas du Problème des trois Corps dans l’espace. Le nombre des variables $\omega _{i}$ et $\rho _{i}$ est alors égal à 4 et l’équation (1) du n^o 135 s’écrit

(1)

$\mathrm {R} \left({\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}},{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}},\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4}\right)=\mathrm {C} .$