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CHAPITRE XXV.

bilinéaire par rapport à

${\begin{array}{cccc}\delta f_{k},&\delta f_{k}',&\delta \Phi ,&\delta \Theta ,\\\delta '\!f_{k},&\delta '\!f_{k}',&\delta '\!\Phi ,&\delta '\!\Theta .\end{array}}$

De plus, quand on y remplace $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi ,$ $\Theta$ par leurs valeurs (7), cette expression doit devenir indépendante de $t.$ Or le temps $t$ pourrait s’y introduire de trois manières :

1^o Sous la forme exponentielle ;

2^o Sous la forme de cosinus ou sinus des multiples de $(t+h)\,;$

3^o En dehors des signes exponentiels et trigonométriques (et, comme nous allons le voir, au second degré au plus).

Il ne doit y entrer d’aucune de ces trois manières.

1^o Pour qu’il n’y entre pas sous la forme exponentielle, il faut et il suffit que l’expression soit linéaire par rapport aux quantités suivantes analogues à (4)

(8)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}\,\delta '\!f_{k}'&-\delta '\!f_{k}\,\delta f_{k}',\\f_{k}'f_{j}'(\delta f_{k}\,\delta '\!f_{j}&-\delta f_{j}\,\delta '\!f_{k}),\\f_{k}'(\delta f_{k}\,\delta '\!\Phi &-\delta '\!f_{k}\,\delta \Phi ),\\(\delta \Phi \,\delta '\!\Theta &-\delta '\!\Phi \,\delta \Theta ),\end{aligned}}\right.$

les coefficients étant développables suivant les puissances des $f_{k},$ $f_{k}'$ et de $\Phi .$

2^o Pour que $t$ n’y entre pas sous la forme trigonométrique, il faut et il suffit que notre expression ne dépende pas de $\Theta ,$ mais seulement de ses variations $\delta \Theta ,\,\delta '\!\Theta .$

3^o Il nous reste à déterminer la condition pour que $t$ n’y entre pas en dehors des signes exponentiels et trigonométriques. Remarquons que l’on a

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}&=e^{\alpha _{k}t}\left(\delta \mathrm {A} _{k}+\mathrm {A} _{k}\,t\,\delta \alpha _{k}\right),\\\delta f_{k}'&=e^{-\alpha _{k}t}\left(\delta \mathrm {A} _{k}'-\mathrm {A} _{k}'\,t\,\delta \alpha _{k}\right),\\\delta \Phi &=\delta \mathrm {C} ,\qquad \delta \Theta =\delta \beta _{0}+t\,\delta \alpha _{0}.\end{aligned}}\right.$

Nous distinguerons dans notre expression des termes de cinq sortes, selon qu’ils contiendront en facteur une quantité (8) figurant dans la première, deuxième, troisième, quatrième ou cinquième ligne du Tableau (8).

Cela posé, si nous remplaçons $\delta f_{k},\,\ldots$ par leurs valeurs (9),