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CHAPITRE XXV.

minant est nul. Ainsi le discriminant $\Delta$ de $\Pi$ devrait s’annuler pour tous les points de toutes les solutions périodiques.

288.Mais une relation algébrique telle que

$\Delta =0$

ne peut pas, à moins de se réduire à une identité, être vraie pour tous les points de toutes les solutions périodiques.

En effet, adjoignons à la relation

(2)

$\Delta =0$

deux autres relations

(3)

$\mathrm {F} =\beta ,\qquad \mathrm {G} =\gamma$

(où $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes arbitraires, $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ les deux fonctions ainsi désignées dans le numéro précédent) et une quatrième relation algébrique quelconque

(4)

$\mathrm {H} =0,$

le nombre des solutions de ces quatre équations algébriques sera limité quelles que soient les constantes $\beta$ et $\gamma .$

Considérons maintenant une solution périodique, les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ seront développées suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots \\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

De même $\mathrm {F}$ sera développable suivant les puissances de $\mu$ et l’on aura

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots .$

$\mathrm {G}$ et $\mathrm {H}$ seront indépendants de $\mu .$

Reste $\Delta \,;$ je dis que cette fonction, qui par hypothèse est algébrique en $x_{i}$ et $y_{i},$ dépend de même algébriquement de $\mu .$

En effet, en exprimant que

$\int {\sqrt {\Pi }}$

est un invariant intégral, on sera conduit à certaines relations où entreront les coefficients de $\Pi ,$ leurs dérivées et les coefficients des équations différentielles du mouvement.